Durchbiegung berechnen: Werkzeug und Werkstück unter Schnittkraft
Auslenkung von Werkzeug oder Werkstück unter Schnittkraft berechnen: Auskragung und Zweipunktlagerung, runde und rechteckige Querschnitte, maximale freie Länge und zulässige Kraft.
Für eine Auskragung gilt f = F × L³ ÷ (3 × E × I), für eine Welle zwischen zwei Auflagen f = F × L³ ÷ (48 × E × I). Weil die Länge in der dritten Potenz eingeht, verachtfacht doppelte Auskragung die Durchbiegung.
Die verwendeten Formeln
f = F × L³ ÷ (3 × E × I)Einseitig eingespannt
Werkzeugauskragung, Bohrstange, freistehendes Werkstückende.
f = F × L³ ÷ (48 × E × I)Zwei Auflagen, mittige Kraft
Welle zwischen Futter und Reitstock.
I = π × d⁴ ÷ 64Runder Querschnitt
Der Durchmesser geht in der vierten Potenz ein.
I = b × h³ ÷ 12Rechteckquerschnitt
Die Höhe in Kraftrichtung ist entscheidend.
Stahlschaft Ø 20 mm, 120 mm frei, 400 N Schnittkraft
Einseitig eingespannt, E = 210.000 N/mm², zulässig 0,05 mm.
- Flächenträgheitsmoment I = π × 20⁴ ÷ 647.854 mm⁴
- Durchbiegung = 400 × 120³ ÷ (3 × 210.000 × 7.854)0,140 mm
- Verhältnis zur Vorgabe von 0,05 mm279 %
- Maximale freie Länge für 0,05 mm115,7 mm
- Zulässige Kraft bei 120 mm Länge358 N
ErgebnisMit 0,140 mm liegt die Auslenkung fast dreimal über der Vorgabe.
Um 0,05 mm zu halten, darf die freie Länge nur 85 mm betragen oder die Schnittkraft höchstens 143 N. Ein Vollhartmetallschaft wäre eine dritte Möglichkeit: bei dreifachem E-Modul bliebe die Auslenkung bei rund 0,05 mm.
Steifigkeit entscheidet über Maß und Oberfläche
Durchbiegung erzeugt Maßabweichung, schlechte Oberfläche und Rattern. Wer sie vor dem Angebot abschätzt, erkennt frühzeitig, ob ein Bauteil zusätzliche Abstützung, kleinere Schnittwerte oder mehr Schlichtgänge braucht.
Wie berechnet man die Durchbiegung?
Für ein einseitig eingespanntes Werkzeug gilt f = F × L³ ÷ (3 × E × I), für eine beidseitig aufgelegte Welle mit mittiger Kraft f = F × L³ ÷ (48 × E × I). E ist der Elastizitätsmodul, I das Flächenträgheitsmoment.
Was ist das Flächenträgheitsmoment?
Es beschreibt, wie stark ein Querschnitt einer Biegung widersteht. Für einen Kreis gilt I = π × d⁴ ÷ 64, für ein Rechteck I = b × h³ ÷ 12. Weil der Durchmesser in der vierten Potenz eingeht, ist er der wirksamste Hebel.
Warum ist die Auskragung so kritisch?
Weil die Länge kubisch eingeht. Doppelte Auskragung bedeutet achtfache Durchbiegung bei gleicher Kraft. Deshalb bringt eine kürzere Werkzeugaufnahme oft mehr als ein teureres Werkzeug.
Welchen Unterschied macht Hartmetall gegenüber Stahl?
Vollhartmetall hat mit rund 600.000 N/mm² etwa den dreifachen Elastizitätsmodul von Stahl. Bei gleicher Geometrie biegt sich ein VHM-Schaft also nur etwa ein Drittel so weit – das ist der Hauptgrund für VHM-Verlängerungen bei tiefen Kavitäten.
Wie hängt das mit Rattern zusammen?
Statische Durchbiegung ist ein Indikator für geringe Steifigkeit, und geringe Steifigkeit senkt die Eigenfrequenz. Sie ersetzt keine Stabilitätsanalyse, ist aber ein guter Frühwarnwert: Wer über der zulässigen Auslenkung liegt, hat meist auch ein Ratterproblem.
Passende Rechner und Fachseiten
Aus einem Rechenwert wird noch kein Angebot.
Der Rechner zeigt den Rechenweg für „Durchbiegung berechnen: Werkzeug und Werkstück unter Schnittkraft“. In der Kalkulation kommen Geometrie, Zeichnungsanforderungen, Maschinenprofil und betriebliche Kostensätze hinzu – mit sichtbaren Annahmen statt einer einzelnen Zahl.